Иррациональными называются уравнения, в составе которых содержатся неизвестные под знаком радикала. При решении подобных уравнений, важно помнить:

• когда показатель корня четное число, подкоренное выражение не может быть отрицательным. Соответственно, значение самого корня также не отрицательное число;
• когда показатель – нечетное число, выражение под корнем может принимать любой знак, как и значение корня.

Решая иррациональное уравнение возведением в степень, как правило, приходится сталкиваться с громоздкими преобразованиями. Наиболее приемлемым в таких случаях является метод замены переменных.

Проиллюстрируем на примерах:

1. Решить уравнение √(х + 4) + √(х – 1) = 5.

Решение.

Корни его можно найти обычным способом, возводя в квадрат обе части уравнения. Покажем, как можно упростить его решение. Поскольку мы имеем корень второй степени, то подкоренные выражения положительны. Другими словами, x + 4 ≥ 0 и x – 1 ≥ 0.

Преобразуем:

{x ≥ -4;
{x ≥ 1.

Осуществим замену:
а = √(х + 4); b = √(х – 1).

Приходим к следующей простой системе:

{a + b = 5;
{a² – b²= 5.

Для решения этой системы, преобразуем второе уравнение:
{a + b = 5;
{(a – b)(a + b) = 5.

Отсюда, имеем:
{a + b = 5;
{a – b = 1.

Сложив их, получаем:

2a = 6;
а = 3; b = 2.

Возвращаясь в замене, запишем:

√(х + 4) = 3, значит х + 4 = 9;
√(х – 1) = 2, значит х – 1 = 4.

Корни обоих уравнений равны, х = 5.

Ответ: х = 5.

2. Решить уравнение (log₂x + 24)^1/3 – (log₂x – 2)^1/3 = 2.

Решение.

Сразу заметим, что х > 0. Введем новые переменные:

a = (log₂x + 24)^1/3 и b = (log₂x – 2)^1/3.

С учетом замены, имеем следующую систему:

{a – b = 2;
{a³ – b³ = 26.

Преобразуем второе уравнение данной системы: (a – b)(a² + ab + b²) = 26, а т.к. a – b = 2, то a² + ab + b² = 13.

Возведем в квадрат первое уравнение: (a – b)² = 4 или a² – 2ab + b² = 4, поэтому a² + b² = 4 + 2ab.

Подставив полученное выражение в a² + ab + b² = 13, получим: 4 + 3ab = 13.

3ab = 9; аb = 3.

Следовательно,

{a – b = 2;
{ab = 3.

Очевидно, что a = 3, b = 1.

Вернемся к заменам:

(log₂x + 24)^1/3 = 3 и (log₂x – 2)^1/3 = 1; далее, log₂x + 24 = 27 и log₂x – 2 = 1.

Решая их, получим один и тот же корень: х = 8.

Проверка показывает, что полученное значение является корнем уравнения.

Ответ: х = 8.

3. Решить уравнение (2sin x – 2)^1/3 + (3 · 2sin x + 3)^1/2 = 3.

Решение.

Осуществим замену: (2sin x – 2)^1/3 = а и (3 · 2sin x + 3)^1/2 = b.

С учетом этого, получим простую систему:

{a + b = 3;
{3a³ – b² = – 9.

Выразив b из первого уравнения через остальные слагаемые и подставив во второе, имеем:

{b = 3 – a;
{3a³ – 9 + 6a – a² = – 9.

Решим второе уравнение:

3a³ – a² + 6а = 0;
а(3а² – а + 6) = 0;
a = 0 или 3а² – а + 6 = 0.

Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, следовательно, оно действительных решений не имеет. Итак,

а = 0; b = 3.

Возвращаемся к подстановкам:

(2sin x – 2)^1/3 = 0 и (3 · 2sin x + 3)^1/2 = 3;
2sin x – 2 = 0 и 3 · 2sin x + 3 = 9.

Решая их, получим 2sin x = 2, отсюда, sin x = 1, следовательно

x = п/2 + 2пn, n Є Z.

Ответ: x = п/2 + 2пn, n Є Z.