Представление об уравнениях с двумя переменными впервые формируется в курсе математики за 7 класс. Рассматриваются конкретные задачи, процесс решения которых приводит к такому виду уравнений.

При этом они изучаются довольно поверхностно. В программе главный акцент делается на системах уравнений с двумя неизвестными.

Это стало причиной того, что задачи, в которых на коэффициенты уравнения накладываются определенные ограничения, практически не рассматриваются. Недостаточно внимания уделено методам решения заданий типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах». Известно, что материалы ЕГЭ и билеты вступительных экзаменов часто содержат такие упражнения.

Какие именно уравнения определяются как уравнения с двумя переменными?

ху = 8, 7х + 3у = 13 или х² + у = 7 – примеры уравнений с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение х – 4у = 16. Если х = 4, а у = -3, оно будет правильным равенством. Значит, эта пара значений – решение данного уравнения.

Решение любого уравнения с двумя переменными – множество пар чисел (х; у), которые удовлетворяют это уравнение (превращают его в верное равенство).

Часто уравнение преобразовывают так, чтобы из него можно было получить систему для нахождения неизвестных.

Примеры

№ 1

Решить уравнение: ху – 4 = 4х – у.

В данном примере можно воспользоваться методом разложения на множители. Для этого нужно сгруппировать слагаемые и вынести общий множитель за скобки:

ху – 4 = 4х – у;

ху – 4 – 4х + у = 0;

(ху + у) – (4х + 4) = 0;

у(х + 1) – 4(х + 1) = 0;

(х + 1)(у - 4) = 0.

Ответ: Все пары (х; 4), где х – любое рациональное число и (-1; у), где у – любое рациональное число.

№2

Решить уравнение: 4х² + у² + 2 = 2(2х - у).

Первый шаг – группирование.

4х² + у² + 2 = 4х – 2у;

4х² + у² + 1 - 4х + 2у + 1 = 0;

(4х² – 4х +1) + (у² + 2у + 1) = 0.

Применив формулу квадрата разности, получим:

(2х - 1)² + (у + 1)² = 0.

При суммировании двух неотрицательных выражений ноль получится только в том случае, если 2х – 1 = 0 и у + 1 = 0. Отсюда следует: х = ½ и у = -1.

Ответ: (1/2; -1).

№ 3

Решить уравнение (х² – 6х + 10)(у² + 10у + 29) = 4.

Рационально применить оценочный метод, выделив полные квадраты в скобках.

((х - 3)² + 1)((у + 5)² + 4) = 4.

При этом (х - 3)² + 1 ≥ 1, а (у + 5)² + 4 ≥ 4. Тогда левая часть уравнения всегда не меньше 4. Равенство возможно в случае

(х - 3)² + 1 = 1 и (у + 5)² + 4 = 4. Следовательно, х = 3, у = -5.

Ответ: (3; -5).

№4

Решить уравнение в целых числах: х² + 10у² = 15х + 3.

Можно записать это уравнение в таком виде:

х² = -10у² + 15х + 3. Если правую часть равенства делить на 5, то 3 – остаток. Из этого следует, что х² не делится на 5. Известно, что квадрат числа, которое не делится на 5, должен дать в остатке или 1, или 4. Значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: Решений нет.

Не стоит расстраиваться из-за трудностей в поиске верного решения для уравнения с двумя переменными. Упорство и практика обязательно принесут свои плоды.