Иррациональными называются уравнения, в составе которых содержатся неизвестные под знаком радикала. При решении подобных уравнений, важно помнить:
- когда показатель корня четное число, подкоренное выражение не может быть отрицательным. Соответственно, значение самого корня также не отрицательное число;
- когда показатель – нечетное число, выражение под корнем может принимать любой знак, как и значение корня.
Решая иррациональное уравнение возведением в степень, как правило, приходится сталкиваться с громоздкими преобразованиями. Наиболее приемлемым в таких случаях является метод замены переменных.
Проиллюстрируем на примерах:
1. Решить уравнение √(х + 4) + √(х – 1) = 5.
Решение.
Корни его можно найти обычным способом, возводя в квадрат обе части уравнения. Покажем, как можно упростить его решение. Поскольку мы имеем корень второй степени, то подкоренные выражения положительны. Другими словами, x + 4 ≥ 0 и x – 1 ≥ 0.
Преобразуем:
{x ≥ -4;
{x ≥ 1.
Осуществим замену:
а = √(х + 4); b = √(х – 1).
Приходим к следующей простой системе:
{a + b = 5;
{a2 – b2= 5.
Для решения этой системы, преобразуем второе уравнение:
{a + b = 5;
{(a – b)(a + b) = 5.
Отсюда, имеем:
{a + b = 5;
{a – b = 1.
Сложив их, получаем:
2a = 6;
а = 3; b = 2.
Возвращаясь в замене, запишем:
√(х + 4) = 3, значит х + 4 = 9;
√(х – 1) = 2, значит х – 1 = 4.
Корни обоих уравнений равны, х = 5.
Ответ: х = 5.
2. Решить уравнение (log2x + 24)1/3 – (log2x – 2)1/3 = 2.
Решение.
Сразу заметим, что х > 0. Введем новые переменные:
a = (log2x + 24)1/3 и b = (log2x – 2)1/3.
С учетом замены, имеем следующую систему:
{a – b = 2;
{a3 – b3 = 26.
Преобразуем второе уравнение данной системы: (a – b)(a2 + ab + b2) = 26, а т.к. a – b = 2, то a2 + ab + b2 = 13.
Возведем в квадрат первое уравнение: (a – b)2 = 4 или a2 – 2ab + b2 = 4, поэтому a2 + b2 = 4 + 2ab.
Подставив полученное выражение в a2 + ab + b2 = 13, получим: 4 + 3ab = 13.
3ab = 9; аb = 3.
Следовательно,
{a – b = 2;
{ab = 3.
Очевидно, что a = 3, b = 1.
Вернемся к заменам:
(log2x + 24)1/3 = 3 и (log2x – 2)1/3 = 1; далее, log2x + 24 = 27 и log2x – 2 = 1.
Решая их, получим один и тот же корень: х = 8.
Проверка показывает, что полученное значение является корнем уравнения.
Ответ: х = 8.
3. Решить уравнение (2sin x – 2)1/3 + (3 · 2sin x + 3)1/2 = 3.
Решение.
Осуществим замену: (2sin x – 2)1/3 = а и (3 · 2sin x + 3)1/2 = b.
С учетом этого, получим простую систему:
{a + b = 3;
{3a3 – b2 = – 9.
Выразив b из первого уравнения через остальные слагаемые и подставив во второе, имеем:
{b = 3 – a;
{3a3 – 9 + 6a – a2 = – 9.
Решим второе уравнение:
3a3 – a2 + 6а = 0;
а(3а2 – а + 6) = 0;
a = 0 или 3а2 – а + 6 = 0.
Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, следовательно, оно действительных решений не имеет. Итак,
а = 0; b = 3.
Возвращаемся к подстановкам:
(2sin x – 2)1/3 = 0 и (3 · 2sin x + 3)1/2 = 3;
2sin x – 2 = 0 и 3 · 2sin x + 3 = 9.
Решая их, получим 2sin x = 2, отсюда, sin x = 1, следовательно
x = п/2 + 2пn, n Є Z.
Ответ: x = п/2 + 2пn, n Є Z.